我来把这些理一遍首先是1的证明：由4，存在0，使得任意α+0=0并且存在β使得α+β=0记这个0为01，那么对于任意α，0(α)=(0+0)(α)=0(α)+0(α)，令β满足0(α)+β=01，则有01=0(α)+β=0(α)+0(α)+β=0(α)。
也就是任意α，0(α)=01最后，任意α，β有：(α+β)+(-1)(α+β)=(1-1)(α+β)=01(β+α)+(-1)(α+β)=β+α+(-1)(α)+(-1)(β)=01于是，(α+β)=(α+β)+(-1)(α+β)+(α+β)=01+(α+β)=(β+α)+(-1)(α+β)+(α+β)=(β+α)。
2不成立时的例子：V=R*N，ix=iy时，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix)，ix≠iy时，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,|ix-iy|)，α数乘(x,ix)=(αx,ix)任意(0,ix)视作相等。
3、4不成立时的例子（4依附于3）：V=R*N，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,max(ix,iy))，α数乘(x,ix)=(αx,ix)4不成立时的例子：V=R*N，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix)，α数乘(x,ix)=(αx,ix)。
（这时1不成立）6不成立时的例子：V=R*R，(x,ix)加(y,iy)=(x+y,ix+iy)，α数乘(x,ix)=(αx,ix)8不成立时的例子：k(a,b,c)=(ka,0,0)还有两个想不出来
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